Об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний тяжелого твердого тела при резонансе четвертого порядка в случае вырождения

Авторы

Максимов Б. А.

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), 125993, г. Москва, Волоколамское шоссе, д. 4

e-mail: badmamaksimov1@gmail.com

Аннотация

Рассматривается движение тяжёлого твёрдого тела с неподвижной точкой в однородном поле тяжести. Предполагается, что главные моменты инерции тела для неподвижной точки удовлетворяют условию Д.Н. Горячева – С.А. Чаплыгина, т. е. находятся в отношении  . В отличие от интегрируемого случая Д.Н. Горячева – С.А. Чаплыгина никаких дополнительных ограничений на положение центра масс тела не накладывается. В рассматриваемом случае возможны маятниковые колебания тела относительно главной оси, расположенной в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.
Целью данной работы является решение задачи об орбитальной устойчивости маятниковых колебаний тела в неисследованных ранее случаях, отвечающих резонансу четвертого порядка при наличии вырождения, когда для получения строгих выводов об орбитальной устойчивости необходимо провести анализ до членов шестого порядка включительно в разложении функции Гамильтона в окрестности невозмущенного периодического движения. Изучение резонансных случаев представляет как теоретический интерес, так и имеет важное значение для приложений, поскольку позволяет выявить значения параметров, при которых происходит качественное изменение характера движения систем. Исследование выполнено на основании метода нормальных форм и теории КАМ. Это позволило получить строгие выводы об орбитальной неустойчивости, а также выводы об орбитальной устойчивости на уровне энергии, отвечающем невозмущенной орбите. Результаты исследования представлены в таблице и проиллюстрированы на диаграмме устойчивости.

Ключевые слова:

маятниковые колебания, орбитальная устойчивость, случай Д.Н. Горячева – С.А. Чаплыгина, резонанс четвертого порядка, локальные переменные, гамильтоновы системы

Список источников

1. Маркеев А.П. Об устойчивости плоских движений твердого тела в случае Ковалевской // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65. С. 51-58.
2. Маркеев А.П., Медведев С.В., Чеховская Т.Н. К задаче об устойчивости маятниковых движений твердого тела в случае Ковалевской // Изв. РАН. МТТ. 2003. №1. С. 3-9.
3. Иртегов В.Д. Устойчивость маятниковых колебаний гироскопа Ковалевской //Тр. Казан. Авиац. ин-т математики и механики, 1968. Т. 97. С. 38-40
4. Брюм А.З. Исследование орбитальной устойчивости при помощи первых интегралов // Прикладная математика и механика. 1989. T. 53. № 6. С. 873-879.
5. Брюм А.З., Савченко А.Я. Об орбитальной устойчивости одного периодического решения уравнений движения гироскопа Ковалевской // Прикладная математика и механика. 1986. T. 50. №6. С. 967-973.
6. Бардин Б. С. К задаче об устойчивости маятникообразных движений твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина // Изв. РАН. МТТ. 2007. №2. С. 14-21.
7. Bardin B.S. On a Method of Introducing Local Coordinates in the Problem of the Orbital Stability of Planar Periodic Motions of a Rigid Body // Rus. J. Nonlin. Dyn. 2020. V. 16. № 4. P. 581-594.
8. Маркеев А.П. О маятникообразных движениях твердого тела в случае Горячева – Чаплыгина // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68. №2. С. 282-293.
9. Bardin B.S., Rudenko T.V., Savin A.A. On the Orbital Stability of Planar Periodic Motions of a Rigid Body in the Bobylev–Steklov Case //Regular and Chaotic Dynamics. 2012. V. 17. №6. P. 533-546.
10. Bardin B.S. Local coordinates in problem of the orbital stability of pendulum-like oscillations of a heavy rigid body in the Bobylev–Steklov case // J. Phys.: Conf. Ser., Bristol. 2021. 012016. P. 1-10.
11. Yehia H.M., Hassan S.Z., Shaheen M.E. On the orbital stability of the motion of a rigid body in the case of Bobylev–Steklov. // Nonlinear Dyn. 2015. V. 80. №3. P. 1173–1185.
12. Bardin B.S., Savin A.A. On the Orbital Stability of Pendulum-like Oscillations and Rotations of a Symmetric Rigid Body with a Fixed Point // Regular and Chaotic Dynamics. 2012. V. 17. № 3-4. P. 243-257.
13. Бардин Б.С., Савин А.А. Об устойчивости плоских периодических движений симметричного твердого тела с неподвижной точкой // Прикладная математика и механика. 2013. T. 77. № 6. С. 806-821.
14. Bardin B.S., Maksimov B.A., The orbital stability analysis of pendullum oscillations of a heavy rigid body with a fixed point under the Goriachev-Chaplygin condition // Journal of Mathematical Sciences. 2023. vol. 1. № 275. P. 66-77.
15.  Бардин Б.С., Максимов Б.А., Об орбитальной устойчивости маятниковых периодических движений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой, главные моменты инерции которого находятся в отношении 4:1:4 // Прикладная математика и механика. 2023. T. 87. № 5. С. 784-800.
16. Маркеев А.П. О критическом случае резонанса четвертого порядка в гамильтоновой системе с одной степенью свободы // Прикладная математика и механика. 1997. T. 61. № 3. С. 369-376.
17. Маркеев А.П. Об одном способе исследования устойчивости положений равновесия гамильтоновых систем // Изв. РАН. МТТ. 2004. №6. С. 3-12.

Скачать статью